二、思考题1. 什么是概率分布?
概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数,该函数称为概率密度函数。概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示。
2. 试写出测量值X落在区间[a,b]内的概率p与概率密度函数的函数关系式,并说明其物理意义。
设测量值X落在区间[a,b]内的概率为p,
式中,p(x)为概率密度函数,数学上积分代表面积。
物理意义:
概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示,如图所示。
测量值X落在区间[a,b]内的概率p可用上式计算。
由此可见,概率p是概率分布曲线下在区间[a,b]内包含的面积,又称包含概率或置信水平。当p=0.9,表明测量值有90%的可能性落在该区间内,该区间包含了概率分布下总面积的90%。在(-∞。+∞)区间内的概率为1,即随机变量在整个值集的概率为1。当p=1(即概率为1)表明测量值以100%的可能性落在该区间内,也就是可以相信测量值必定在此区间内。
4. 期望和标准偏差分别表征概率分布的哪些特性?
期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。由于方差不便使用,通常用期望和标准偏差来表征一个概率分布。期望μ影响概率分布曲线的位置;标准偏差σ影响概率分布曲线的形状,表明测量值的分散性。
5. 有限次测量时,期望和标准偏差的估计值分别是什么?
有限次测量时,算术平均值
是概率分布的期望μ的估计值。即:
有限次测量时,实验标准偏差s是标准偏差σ的估计值。即:
式中:X——n次测量结果的算术平均值;
ν=n-1——自由度;
s(x)——测量值x的实验标准偏差。
6. 正态分布时,测量值落在μ±kσ区间内,k=2时的概率是多少?是如何得来的?
测量值X落在[a,b]区间内的概率为
式中,u=(x-μ)/σ,
称为标准正态分布函数
已知:μ±kσ,k=2,令δ=x-μ,设|δ|≤2σ,即:u=δ/σ=±2,u
1=z
1=-2,u
2=z
2=2
p=(|x-μ|≤2σ)=φ(2)φ(-2)=2φ(2)-1=2×0.97725-1=0.9545
由此可见,当k=2时,包含概率为95.45%
7. 有哪些常用的概率分布?它们的区间半宽度与包含因子分别有什么关系?
令包含因子为k,包含区间半宽度为a,标准偏差为σ(x),则:包含区间半宽度与包含因子的关系为:
a=kσ(x)
对于均匀分布:
对于三角分布:
对于梯形分布:
对于反正弦分布:
8. 什么叫相关?表示相关性的参数是什么?
相关性是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。如果两个随机变量X和y,其中一个量的变化会导致另一个量的变化,就说这两个变量是相关的。表示相关性的参数主要是协方差V(X,Y)和相关系数ρ(X,Y)。
9. 协方差与相关系数是什么关系?相关系数有什么特点?
协方差是两个随机变量相互依赖性的度量。两个随机变量X和Y,各自的误差之积的期望称为X和Y的协方差,用符号cov(X,Y)或V(X,Y)表示。
V(X,Y)=E[(x-μ
x)(y-μ
y)]
相关系数也是两个随机变量相互依赖性的度量。它等于两个随机变量间的协方差除以他们各自的方差乘积的正平方根,用符号ρ(X,Y)表示。
协方差V(X,Y)与相关系数ρ(X,Y)的关系是:
协方差估计值s(x,y)与相关系数估计值r(x,y)的关系是:
相关系数是一个纯数字,在-1~+1之间,表示两个量的相关程度。相关系数为零,表示两个量不相关;相关系数为+l,表明X与Y全部相关(正强相关),即随着X增大Y也增大;相关系数为-1.表明X与Y负相关(负强相关),即随着X增大Y变小。
10. 如何得到协方差与相关系数的估计值?协方差估计值及相关系数估计值分别用什么符号表示?
协方差的估计值s(x,y)是通过有限次测量的数据得到的。
其中:
相关系数的估计值r(x,y)也是通过有限次测量的数据得到的。
其中,s(x)和s(y)分别为X和Y的实验标准偏差。
11. 什么是评定测量不确定度的GUM法?一般,GUM法评定测量不确定度有哪些步骤?
测量不确定度的评定方法应依据JJF1059进行,该规范现分两部分:JJF1059.1—2012《测量不确定度评定与表示》,又称GUM评定方法或GUM法;JJF1059.2—2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》。
如果相关国际组织已经制订了某种计量标准所涉及领域的测量不确定度评定指南,则在这些指南的适用范围内,测量不确定度评定也可以依据这些指南进行。
GUM法评定测量不确定度的步骤:
(1)明确被测量,必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述;
(2)分析不确定度的来源并写出测量模型;
(3)评定测量模型中的各输入量的标准不确定度u(x
i),计算灵敏系数c
i,从而给出与各输入量相对应的输出量y的不确定度分量u
i(y
i)=|c
i|u(x
i);
(4)计算合成标准不确定度u
c(y),计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关性,对于非线性测量模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项;
(5)列出不确定度分量的汇总表,表中应给出每一个不确定度分量的详细信息;
(6)对被测量的概率分布进行估计,并根据概率分布和所要求的包含概率p确定包含因子k
p;
(7)在无法确定被测量y的概率分布时,或该测量领域有规定时,也可以直接取包含因子k=2;
(8)由合成标准不确定度u
c(y)和包含因子k或k
p的乘积,分别得到扩展不确定度U或U
p;
(9)给出测量不确定度的最后陈述,其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。利用这些信息,至少应该使用户能根据所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的合成标准不确定度。
通常,用GUM法进行不确定度评定的流程如图所示。
12. 测量不确定度的来源可以从哪些方面考虑?
通常测量不确定度的来源从以下几方面考虑:
(1)被测量的定义不完整;
(2)复现被测量的测量方法不理想;
(3)取样的代表性不够,即被测样本不能代表所定义的被测量;
(4)对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善;
(5)对模拟式仪器的读数存在人为偏移;
(6)测量仪器的计量性能的局限性;
(7)测量标准或标准物质提供的量值不准确;
(8)引用的数据或其他参量值不准确;
(9)测量方法和测量程序的近似和假设;
(10)在相同条件下被测量在重复观测中的变化。
除此以外,如果已经对测量结果进行了修正,给出的是已修正测量结果,则还要考虑修正值不完善引入的测量不确定度。
通常,在分析测量结果的不确定度来源时,可以从测量仪器、测量环境、测量方法、被测量等方面全面考虑,应尽可能做到不遗漏、不重复。特别应考虑对测量结果影响较大的不确定度来源。
测量中的失误或突发因素不属于测量不确定度的来源。在测量不确定度评定中,应剔除测得值中的离群值(异常值)。
13. 什么是测量模型?建立测量模型时要注意什么?
测量模型是指测量结果与其直接测量的量、引用的量以及影响量等有关量之间的数学函数关系。
当被测量y由N个其他量X1,X2,…,XN的函数关系确定时,被测量的测量模型为
Y=f(X1,X2,…,XN)
被测量的测量结果称输出量,输出量Y的估计值y是由各输入量Xi的估计值xi按测量模型确定的函数关系式计算得到的,式中符号f称为测量函数。
y=f(x1,x2,…,xN)
建立测量模型时应注意的问题是:
(1)测量模型可以用已知的物理公式得到,也可以用实验方法确定,甚至只用数值方程给出。
(2)测量模型不是唯一的,对于同一个被测量采用不同的测量方法和不同的测量程序,就会有不同的测量模型。
(3)测量模型不一定是完善的,它与人们对规律的认识程度有关。为了能在测量模型中充分反映实际的影响量,尽可能采用长期积累的数据建立经验模型。
(4)有时被测量y的输入量X1,X2,…,XN本身又取决于其他量,它们各自与其他量间有函数关系,还可能包含对系统影响进行修正的修正值或修正因子,导致十分复杂的函数关系。这时候,测量模型可能是一系列关系式。
(5)如果数据表明测量模型中没有考虑某个具有明显影响的影响量时,应在模型中增加输入量,直至测量结果满足测量准确度的要求。
14. 标准不确定度有哪几种评定方法?
标准不确定度主要有以下评定方法:
(1)标准不确定度分量的A类评定方法;
(2)标准不确定度分量的B类评定方法。
15. 如何用A类评定方法评定标准不确定度分量?
(1)在同一条件下,对被测量X进行n次独立重复观测,得到数据列:x
1,x
2,…,x
n (2)计算算术平均值(即被测量的最佳估计值)
(3)计算实验标准偏差
(4)当用算术平均值X作为被测量的最佳估计值时,被测量的估计值的A类标准不确定度
公式中的n为获得平均值时的测量次数。
16. 规范化常规测量时可以如何进行A类标准不确定度评定?
规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件的测量,如日常按检定规程进行的大量同类被测件的检定,当可以认为对每个同类被测量的实验标准偏差相同时,通过累积的测量数据,计算出自由度充分大的合并样本标准偏差,以用于评定每次测量结果的A类标准不确定度。
在规范化的常规测量中,测量m个同类被测量,得到m组数据,每组测量n次,第j组的平均值为
,则合并样本标准偏差s
p为
对每个量的测量结果
的A类标准不确定度为
自由度为ν=m(n-1)。
若对每个被测件的测量次数n
j不同,即各组的自由度ν
j不等,各组的实验标准偏差为s
j,则
式中,ν
j=n
j-1。
对于常规的计量检定或校准,当无法满足n≥10时,为使得到的实验标准差更可靠,如果有可能,建议采用合并样本标准差s
p作为由重复性引入的标准不确定度分量。
17. 试述标准不确定度B类评定的步骤。
标准不确定度B类评定是借助于一切可利用的有关信息进行科学判断,得到估计的标准偏差。步骤如下:
(1)根据有关信息或经验,判断被测量的可能值区间(-a,a);
(2)假设被测量值的概率分布;
(3)根据概率分布和要求的包含概率p估计包含因子k,则B类标准不确定度u
B为:
式中,a为被测量可能值区间的半宽度;k为包含因子。
18. 试述B类评定时可能的信息来源及如何确定可能值的区间半宽度?
B类评定时利用的信息包括:
(1)以前的观测数据;
(2)对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验;
(3)生产部门提供的技术说明文件(制造厂的技术说明书);
(4)校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等;
(5)手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度;
(6)规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据;
(7)其他有用信息。
确定可能值的区间半宽度的方法包括:
(1)制造厂的说明书给出测量仪器的最大允许误差为±Δ,并经计量部门检定合格,则可能值的区间为(-Δ,Δ),区间的半宽度为a=Δ
(2)校准证书提供的校准值,给出了其扩展不确定度为U,则区间的半宽度为a=U
(3)由手册查出所用的参考数据,同时给出该数据的误差不超过±Δ,则区间的半宽度为a=Δ
(4)由有关资料查得某参数X的最小可能值为a
-和最大可能值为a
+,区间半宽度可以用下式确定
(5)数字显示装置的分辨力为1个数字所代表的量值δ
x,则取
(6)当测量仪器或实物量具给出准确度等级时,可以按检定规程或有关规范所规定的该等别或级别的最大允许误差或测量不确定度进行评定。
(7)根据过去的经验判断某值不会超出的范围来估计区间半宽度a值。
(8)必要时,用实验方法来估计可能的区间。
19. B类评定时,如何假设可能值的概率分布和确定k值?
概率分布的假设
①被测量受许多相互独立的随机影响量的影响,这些影响量变化的概率分布各不相同,但各个变量的影响均很小时,被测量的随机变化服从正态分布。
②如果有证书或报告给出的扩展不确定度是U
90,U
95或U
99,除非另有说明,可以按正态分布来评定B类标准不确定度。
③一些情况下,只能估计被测量的可能值区间的上限和下限,测量值落在区间外的概率几乎为零。若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同,则可假设为均匀分布。
④若落在该区间中心的可能性最大,则假设为三角分布。
⑤若落在该区间中心的可能性最小,而落在该区间上限和下限处的可能性最大,则假设为反正弦分布。
⑥对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时,一般假设为均匀分布。
实际工作中,可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。例如:无线电计量中失配引起的不确定度为反正弦分布;几何量计量中度盘偏心引起的测角不确定度为反正弦分布;测量仪器最大允许误差、分辨力、数据修约、度盘或齿轮回差等导致的不确定度按均匀分布考虑;两个量值之和或差的概率分布为三角分布;按级使用量块时,中心长度偏差导致的概率分布为两点分布。
(2)k值的确定
①已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时,则该倍数(包含因子)就是k值。
②假设概率分布后,根据要求的包含概率查表得到包含因子k值。
例如:
如果数字显示仪器的分辨力为δ
x则区间半宽度a=δ
x/2,可假设为均匀分布,查表得
,由分辨力引起的标准不确定度分量为
。
若某数字电压表的分辨力为1μV(即最低位的一个数字代表的量值),则由分辨力引起的标准不确定度分量为:u
B(V)=0.29×1μV=0.29μV。
被测仪器的分辨力会对测量结果的重复性测量有影响。在测量不确定度评定中,当重复性引入的标准不确定度分量大于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时,可以不考虑分辨力所引入的不确定度分量。但当重复性引入的不确定度分量小于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时,应该用分辨力引入的不确定度分量代替重复性分量。若被测仪器的分辨力为δ
x,则分辨力引入的标准不确定度分量为0.29δ
x。
(3)常用的概率分布与包含因子的关系(见表1和表2)
表1 正态分布的k值与概率p的关系
|
p
|
0.50
|
0.90
|
0.95
|
0.99
|
0.9973
|
是
|
0.676
|
1.64
|
1.96
|
2.58
|
3
|
表2 几种非正态分布时的k值
|
概率分布
|
均匀分布
|
反正弦分布
|
三角分布
|
梯形分布
|
两点分布
|
k(p=100%)
|
|
|
|
|
1
|
注:β为梯形上底半宽度与下底半宽度之比。
20. 如何计算出B类标准不确定度的自由度?
B类标准不确定度的自由度可由下式估计
σ[u(x
i)]/u(x
i)估计为Δu(x
i)/u(x
i),根据经验,按所依据的信息来源的不可信程度来判断u(x
i)的相对标准不确定度,然后按上式计算出自由度ν列于下表。
B类标准不确定度的自由度估计
|
Δu(xi)/u(xi)
|
0
|
0.10
|
0.20
|
0.25
|
0.30
|
0.40
|
0.50
|
ν
|
∞
|
50
|
12
|
8
|
6
|
3
|
2
|
其中,Δu(x
i)/u(x
i)是标准不确定度u(x
i)的相对不确定度,是所评定的u(x
i)的不可靠程度。
21. 试写出测量不确定度的传播律,并说明公式中各项的含义。
当被测量的测量结果y的数学模型为线性函数y=f(x
1,x
2,…,x
N)时,测量结果y的合成标准不确定度u
c(y)按下式计算,此式称为不确定度传播率。
式中:y——输出量的估计值,即被测量的测量结果;
x
i,x
j,——输入量的估计值,i≠j;
N——输入量的数量;
,即灵敏系数,可表示为c
i,c
j;
u(x
i),u(x
j)——输入量x
i和x
j的标准不确定度;
r(x
i,x
j)——输入量x
i和x
j的相关系数估计值;
r(x
i,x
j,)u(x
i)u(x
j)=(x
i,x
j,)——输入量x
i和x
j的协方差估计值。
注1:灵敏系数通常是对测量函数f在X
i=x
i处取偏导数得到。灵敏系数是一个有符号和单位的量值,它表明了输入量x
i的不确定度u(x
i)影响被测量估计值的不确定度u
c(y)的灵敏程度。有些情况下,灵敏系数难以通过函数f计算得到,可以用实验确定,即采用变化一个特定的X
i,测量出由此引起的Y的变化。
注2:当测量模型为非线性函数时,可采用泰勒级数展开,舍去高次项后得到近似的线性函数。
22. 输入量间不相关时计算合成标准不确定度有哪些简化公式?
若被测量的测量结果y的数学模型为线性函数y=f(x
1,x
2,…,x
N),
(1)当各输入量间不相关,即r(x
i,x
j)=0时,21题中公式(1)的简化形式为
若设u
i(y)是测量结果y的标准不确定度分量,且
则u
c(y)由被测量y的标准不确定度分量合成时,可用式(4)评定。
对于直接测量,可简单地写成
(2)当被测量的函数形式为Y=A1X1+A2X2+…+ANXN,且各输入量间不相关,合成标准不确定度u
c(y)为
(3)当被测量的函数形式为
,且各输入量间不相关,合成标准不确定度u
c(y)为
如果上式中p
i=1,则被测量的测量结果的相对合成不确定度是各输入量的相对合成不确定度的方和根值,即
23. 输入量间正强相关时计算合成标准不确定度有什么特点?
当所有输入量都相关,且相关系数为1时,合成标准不确定度u
c(y)为
当所有输入量都相关,且相关系数为+1,灵敏系数为1时,合成标准不确定度u
c(y)为
特点:由此可见,当输入量都正强相关,且灵敏系数均为1时,合成标准不确定度是各输入量标准不确定度分量的代数和。也就是说,强相关时不再是方和根法合成。
24. 用什么方法可以获得协方差和相关系数的估计值?
(1)用同时观测两个量的方法确定协方差估计值
对两个输入量X
i及X
j进行同时重复观测,设x
ik,x
jk分别是输入量X
i及X
j的观测值。k为测量次数(k=1,2,…,n)。
,
分别为第i个输入量和第j个输入量的k次测量的算术平均值;x
i与x
j的协方差估计值可由下式计算
例如:一个振荡器的频率与环境温度可能有关,则可以把频率f和环境温度t作为两个输入量,即x
i=t,x
j=f,同时观测每个温度下的频率值,得到一组t
k,f
k数据,共观测n组,k=1,2,…,n。计算算术平均值
和
,则由下式可以计算它们的协方差
如果协方差为零,说明频率与温度无关,如果协方差不为零,就显露出它们间的相关程度。
(2)用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值
根据对x和y两个量同时测量的n组测量数据,相关系数的估计值计算公式如下
式中,s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。
(3)用经验公式估计相关系数
如果两个输入量x
i和x
j相关,x
i变化δ
i会使x
j,变化δ
j,则x
i和x
j的相关系数可用如下经验公式估计
式中,u(x
i)和u(x
j)分别为x
i和x
j的标准不确定度。
(4)用经验公式估计相关系数
如果两个输入量x
i和x
j相关,x
i变化δ
i会使x
j相应变化δ
j,则x
i和x
j的相关系数可用如下经验公式估计
式中,u(x
i)和u(x
j)分别为x
i和x
j的标准不确定度。
(5)当两个量均因与同一个量有关而相关时,协方差的估计方法
设x
i=F(q),x
j=G(q)
式中,q为使xi与xj相关的变量Q的估计值,F,G分别表示两个量与q的测量函数。则x
i与x
j的协方差按如下公式计算
如果有多个变量使x
i与x
j相关,当
xi=F(q1,q2,…,qL)
xj=G(q1,q2,…,qL)
时,则协方差按如下公式计算
25. 扩展不确定度U和U
P的区别?
扩展不确定度U由合成标准不确定度u
c乘以包含因子k得到:U=ku
c。
k值根据需具有的置信水平来选取,k值一般取2或3。当取其他值时,应说明其来源。
为了使所有给出的测量结果之间能够方便地相互比较,在多数情况下取k=2。
当接近正态分布时,测得值落在由U所给出的统计包含区间内的概率为:
若k=2,则由U=2u
c所确定的区间具有的包含概率约为95%。
若k=3,则由U=3u
c所确定的区间具有的包含概率约为99%以上。
当给出扩展不确定度U时,一般应注明所取的k值,若未注明k值,则指k=2。
当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率p时,扩展不确定度用符号U
p表示。U
p=k
pu
c,k
p是包含概率为p时的包含因子。
(1)接近正态分布时k
p的确定
根据中心极限定理,当不确定度分量很多,且每个分量对不确定度的影响都不大时,其合成分布接近正态分布,此时若以算术平均值作为测量结果y,通常可假设概率分布为t分布,可以取k
p值为t值。即:k
p=t
p(ν
eff),其中ν
eff为合成标准不确定度u
c(y)的有效自由度。
获得k
p的步骤:
①先求得测量结果y及其合成标准不确定度u
c(y);
②按照下式计算u
c(y)的有效自由度ν
eff;
式中,c
i为灵敏系数,u(x
i)为输入量x
i的标准不确定度,ν
i为u(x
i)的自由度。
当u(x
i)为A类标准不确定度时是由n次观测得到的s(x)或s
,其自由度为ν
i=n-1;
当u(x
i)为B类标准不确定度时,用下式估计自由度ν
i 式中,
是标准不确定度u(x
i)的相对不确定度,是所评定的u(x
i)的不可靠程度。
在实际工作中,B类标准不确定度通常根据区间(-a,+a)的信息来评定。若可假设被测量值落在区间外的概率很小,则可以认为u(x
i)的评定是很可靠的,即
,此时,可假设u(x
i)的自由度ν
i→∞。
③根据要求的置信水平p和计算得到的有效自由度ν
eff,查t分布的t值表得到t
p(ν
eff)值。
④取k
p=t
p(ν
eff),并计算U
p=k
pu
c。
(2)当合成分布为非正态分布时k
p的选取
如果不确定度分量很少,且其中有一个分量起主要作用,合成分布就主要取决于此分量的分布,可能为非正态分布。
①当要求确定U
p,而合成的概率分布为非正态分布时,应根据概率分布确定k
p值。
②实际上,当合成分布接近均匀分布时,为了便于测量结果间进行比较,有时约定仍取k为2。这种情况下给出扩展不确定度时,包含概率远大于0.95,所以此时应注明k的值,但不必注明p的值。
26. 用什么方法确定扩展不确定度U?
扩展不确定度U由合成标准不确定度uc乘以饱含因子k得到,即U=kuc,对于合成标准不确定度uc而言,它是成倍地被扩大了的一个值。
k值根据需具有的包含概率来选取,k值一般取2或3。当取其他值时,应说明其来源。
为了使所有给出的测量结果之间能够方便地相互比较,在多数情况下取k=2。当接近正态分布时,测量值落在由U所给出的统计包含区间内的概率为:
若k=2,则由U=2uc所确定的区间具有包含概率约为95%。
若k=3,则由U=3uc所确定的区间具有包含概率约为99%以上。
当给出扩展不确定度U时,应注明所取的k值,若未注明k值,则指k=2。
27. 用什么方法确定扩展不确定度U
p?
当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率p时,扩展不确定度用符号U
p表示,U
p=k
pu
c,k
p是包含概率为p时的包含因子。
(1)接近正态分布时k
p的确定
根据中心及限定理,当不确定度分量很多,且每个分量对不确定度的影响都不大时,其合成分布接近正态分布,此时若以算术平均值作为测量结果y,通常可假设概率分布为t分布,可以取k
p值为t值。即:k
p=t
p(ν
eff)。根据合成标准不确定度u
c(y)的有效自由度ν
eff和需要的包含概率p,查t分布表得到的t值即是包含概率为p的包含因子k
p。
扩展不确定度U
p=k
pu
c(y)提供了一个具有包含概率为p的区间y±U
p。
获得k
p的计算步骤为:
①先求得测量结果y及其合成不确定度u
c(y);
②按下式计算u
c(y)的有效自由度ν
eff 式中,c
i为灵敏系数,u(x
i)为输入量x
i的标准不确定度,ν
i为u(x
i)的自由度。
当u(xi)为A类标准不确定度时是由n次测量结果得到的s(x)或
,其自由度ν
i=n-1;当u(x
i)为B类标准不确定度时,用下式计算自由度ν
i 式中,Δu(x
i)/u(u
i)是标准不确定度u(x
i)的相对不确定度,是所评定的u(x
i)的不可靠程度。
在实际工作中,B类标准不确定度通常根据区间(-a,a)信息来评定。若可假设被测量值落在区间外的概率极小,则可认为u(x
i)的评定是很可靠的,即Δu(x
i)/u(u
i)→0,此时,可假设u(x
i)的自由度ν
i→∞。
③根据要求的包含概率p和计算得到的有效自由度ν
eff,查t分布的t值表得到t
p(ν
eff)值。
④取k
p=t
p(ν
eff),并计算U
p=k
pu
c。
(2)当合成分布为非正态分布时k
p的选取
如果不确定度分量很少,且其中有一个分量起主要作用,合成分布就主要取决于此分量的分布,可能为非正态分布。
①当要求确定U
p,而合成的概率分布为非正态分布时,应根据概率分布确定k
p值。
②实际上,当合成分布接近均匀分布时,为了便于测量结果间进行比较,有时约定仍取k为2。这种情况下给出扩展不确定度时,包含概率远大于0.95,所以此时应注明k的值,但不必注明p的值。
28. 常用的不确定度符号如何正确书写?
(1)标准不确定度的符号:u
(2)标准不确定度分量的符号:ui
(3)相对标准不确定度的符号:ur或urel
(4)合成标准不确定度的符号:uc
(5)扩展标准不确定度的符号:U
(6)相对扩展标准不确定度的符号:Ur或Urel
(7)明确规定包含概率为p时的扩展不确定度的符号:Up
(8)包含因子的符号:k
(9)明确规定包含概率为p时的包含因子的符号:kp
(10)包含概率的符号:p
(11)自由度的符号:ν
(12)合成标准不确定度的有效自由度的符号:νeff
29. 评定测量不确定度的GUM法有哪些适用条件?
通过不确定度传播律计算合成标准不确定度,从而得到被测量估计值的测量不确定度的方法称为GUM法,即不确定度指南的方法。GUM法的使用详见JJF1059.1—2012《测量不确定度评定与表示》。
GUM法的主要适用条件:
(1)可以假设输入量的概率分布呈对称分布;
(2)可以假设输出量的概率分布近似为正态分布或t分布;
(3)测量模型为线性模型、可以转化为线性的模型或可用线性模型近似的模型。
30. 什么是评定测量不确定度的蒙特卡洛法?用MCM评定测量不确定度有哪些步骤?
蒙特卡洛法简称MCM,MCM是采用概率分布传播的方法,即通过对输入量X
i的概率密度函数(PDF)离散抽样,由测量模型传播输入量的分布,计算获得输出量Y的PDF的离散抽样值,进而由输出量的离散分布数值直接获取输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间。该输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间等特性的可信程度随PDF抽样数增加可得到改善。下图描述了由输入量X
i(i=1,…,N)的PDF,通过模型传播,给出输出量Y的PDF的一个过程示意。图中列出了相互独立的分别为正态分布、三角分布和正态分布的3个输入量,而输出量的PDF显示为分布不对称的情形。
MCM是通过如下步骤实现概率分布的传播和不确定度的评定:
(1)MCM输入
①定义输出量Y,即被测量;
②确定与Y相关的输入量X
1,…,X
N;
③建立Y和X
1,…,X
N之间的测量模型Y=f(X
1,…,X
N);
④利用可获得的信息,为X
i设定PDF,如正态分布、均匀分布等;
⑤选择蒙特卡洛试验样本量的大小M。
(2)MCM传播
①从输入量X
i的PDFgx
i(ξ
i)中抽取M个样本值x
ir,i=1,2,…,N,r=1,2,…,M;
②对每个样本值(x
1r,x
2r,…,x
Nr),计算相应Y的模型值yr=f(x
1r,x
2r,…,x
Nr),r=1,…,M。
(3)MCM输出
将这些M个模型值按严格递增次序排序,由这些排序的模型值得到输出量Y的分布函数的离散表示G。
(4)报告结果
①由G计算输出量Y的估计值y及y的标准不确定度u(y);
②由G计算在约定包含概率P时的Y的包含区间[y
low,y
high]。
MCM使用方法详见JJF1059.2—2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》。
注意:用蒙特卡洛法评定测量不确定度时必须由相应的计算软件进行计算。用蒙特卡洛法评定后报告的结果不用合成标准不确定度和扩展不确定度,而是被测量的估计值y及y的标准不确定度u(y),以及在约定包含概率P时的Y的包含区间[y
low,y
high],包含区间不一定是对称的。
31. 用GUM法和MCM两种方法评定后报告结果的方式有什么区别?
注意:用蒙特卡洛法评定测量不确定度时必须由相应的计算软件进行计算。用蒙特卡洛法评定后报告的结果不用合成标准不确定度和扩展不确定度,而是被测量的估计值y及y的标准不确定度u(y),以及在约定包含概率P时的Y的包含区间[ylow,yhigh],包含区间不一定是对称的。
32. 为什么说GUM法依然是评定测量不确定度的最基本方法?
当不能同时满足GUM法的适用条件时,可考虑采用蒙特卡洛法评定测量不确定度。JJF1059.1—2012《测量不确定度评定与表示》中还规定:有时虽然GUM法的适用条件不完全满足,当用GUM法评定的结果得到蒙特卡洛法验证时,则依然可以用GUM法评定测量不确定度。因此,GUM法依然是评定测量不确定度的最基本的方法。
33. 什么是有效数字?如何辨别有效数字的位数?
我们用近似值表示一个量的值时,通常规定“近似值修约误差的绝对值不超过末位的单位量值的一半”,该数值的从其第一个不是零的数字起到最末一位数的全部数字就称为有效数字。
最终报告时,测量不确定度有效位数究竟取一位还是两位?这主要取决于修约误差限的绝对值占测量不确定度的比例大小。
数字左边的0不是有效数字,数字中间和右边的0是有效数字。如3.8600为五位有效数字,0.0038是二位有效数字,1002为四位有效数字。
34. 最终报告时,测量不确定度取几位有效数字?
在报告测量结果时,不确定度U或uc(y)都只能是1~2位有效数字。也就是说,报告的测量不确定度最多为2位有效数字。
在测量不确定度计算过程中可以适当多保留几位数字,以避免中间运算过程的修约误差影响到最后报告的不确定度。
最终报告时,测量不确定度有效位数究竟取一位还是两位?这主要取决于修约误差限的绝对值占测量不确定度的比例大小。经修约后近似值的误差限称修约误差限,有时简称修约误差。
所以建议:当第1位有效数字是1或2时,应保留2位有效数字。除此之外,对测量要求不高的情况可以保留1位有效数字。测量要求较高时,一般取2位有效数字。
35. 什么是通用的数字修约规则?
对某一数字,根据保留数位的要求,将多于位数的数字按照一定规则进行取舍,这一过程称为数字修约。
通用的修约规则为:以保留数字的末位为单位,末位后的数字大于0.5者,末位进一;末位后的数字小于0.5者,末位不变(即舍弃末位后的数字);末位后的数字恰为0.5者,使末位为偶数(即当末位为奇数时,末位进一;当末位为偶数时,末位不变)。我们可以简捷地记成:“四舍六入,逢五取偶”。
报告测量不确定度时,按通用规则数字修约举例:
uc=0.568mV,应写成uc=0.57mV或uc=0.6mV;
uc0.561mV,应写成uc=0.56mV;
U=10.5nm,应写成U=10nm;
U=10.5001nm,应写成U=11nm;
U=11.5×10-5取二位有效数字,应写成U=12×10-5;
取一位有效数字,应写成U=1×10-4;
U=1235687μA,取一位有效数字,应写成U=1×106μA=1A。
修约注意事项:不可连续修约,例如:要将7.691499修约到四位有效数字,应一次修约为7.691,若采取7.691499——7.6915——7.692是不对的。
为了保险起见,也可将不确定度的末位后的数字全都进位而不是舍去。
例如:uc=10.27mΩ,报告时取二位有效数字,为保险起见可取uc=11mΩ
36. 如何确定最终报告的测量结果最佳估计值的有效位数?
测量结果(即被测量的最佳估计值)的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。即同样单位情况下,如果有小数点,则小数点后的位数一样;如果是整数,则末位一致。
例如:(1)y=6.3250g,uc=0.25g,则被测量估计值应写成y=6.32g;
(2)y=1039.56mV,U=10mV,则被测量估计值应写成y=1040mV;
(3).y=1.50005ms,U=10015ns;
首先将y和U变换成相同的计量单位μs,然后对不确定度修约:对U=10.015μs修约,取二位有效数字为U=10μs,然后对被测量的估计值修约:对y=1.50005mS=1500.05μs修约,使其末位与U的末位相对齐,得最佳估计值y=1500μs。
则测量结果为y±U=1500μs±10μs。
37. 完整的测量结果应报告哪些内容?
完整的测量结果应包含:
①被测量的最佳估计值,通常是多次测量的算术平均值或由函数式计算得到的输出量的估计值;
②测量不确定度,说明该测量结果的分散性或测量结果所在的具有一定概率的统计包含区间。
例如:测量结果表示为:Y=y±U(k=2)。其中Y是被测量的测量结果,y是被测量的最佳估计值,U是测量结果的扩展不确定度,k是包含因子,k=2说明测量结果在y±U区间内的概率约为95%。
在报告测量结果的测量不确定度时,应对测量不确定度有充分详细的说明,以便人们可以正确利用该测量结果。不确定度的优点是具有可传播性,就是如果第二次测量中使用了第一次测量的测量结果,那么,第一次测量的不确定度可以作为第二次测量的一个不确定度分量。因此给出不确定度时,要求具有充分的信息,以便下一次测量能够评定出其标准不确定分量。
38. 如何报告测量结果及其扩展不确定度?
完整的测量结果应包含两个量值:
①被测量的最佳估计值,通常由多次测量的算术平均值给出。
②描述该测量结果分散性的值,即测量不确定度。
在报告测量结果的测量不确定度时,应对测量不确定度有充分详细的说明,以便人们可以正确利用该测量结果。
(2)当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时,应:①明确说明被测量的定义;②要给出被测量Y的估计值y及其合成标准不确定度uc(y),必要时还应给出其有效自由度νeff;③必要时可给出相对合成标准不确定度ucrel(y)。
测量结果及其合成标准不确定度的报告可用以下3种形式之一:
例如,标准砝码的质量为ms,测量结果为100.02147g,合成标准不确定度uc(ms)为0.35mg,则报告形式有:
①ms=100.02147g;uc(ms)=0.35mg。
②ms=100.02147(35)g;括号内的数是合成标准不确定度,其末位与前面结果的末位数对齐。这种形式主要在公布常数或常量时使用。
③ms=100.02147(0.00035)g;括号内的数是合成标准不确定度,与前面结果有相同计量单位。
(3)当用扩展不确定度报告测量结果的不确定度时,应:①明确说明被测量的定义。②要给出被测量Y的估计值y及其扩展不确定度U(y)或Up(y)。③必要时可给出相对扩展不确定度Urel(y)。④对于U要给出包含因子k值。必要时说明扩展不确定度的自由度(扩展不确定度的自由度就是指合成标准不确定度的有效自由度)。对于Up要在下标中给出p值,必要时给出有效自由度νeff;另一种情况下可直接说明kp值。
扩展不确定度的报告有U或Up两种。
U=kuc(y)的报告
例如:标准砝码的质量为ms,测量结果为100.02147g,合成标准不确定度uc(ms)为0.35mg,取包含因子k=2,U=kuc(y)=2×0.35mg=0.70mg。U可用以下两种形式之一报告:
①ms=100.02147g;U=0.70mg,k=2。
②ms=(100.02147±0.00070)g;k=2。
Up=kpuc(y)的报告
例如:标准砝码的质量为ms,测量结果为100.02147g,合成标准不确定度uc(ms)为0.35mg,νeff=9,按p=95%,查t分布值表得kp=t95(9)=2.26,U95=2.26×0.35mg=0.79mg。则Up可用以下四种形式之一报告:
①ms=100.02147g;U95=0.79mg,νeff=9。
②ms=(100.02147±0.00079)g,νeff=9,括号内第二项为U95的值。
③ms=100.02147(79)g,νeff=9,括号内为U95的值,其末位与前面结果末位数对齐。
④ms=100.02147(0.00079)g,νeff=9,括号内为U95的值,与前面结果有相同的计量单位。
在给出测量结果的扩展不确定度Up时,推荐使用②的形式,并可做详细说明如下:ms=(100.02147±0.00079)g,式中,正负号后的值为扩展不确定度U95=k95uc(y),而合成标准不确定度uc(ms)=0.35mg,自由度νeff=9,包含因子kp=t95(9)=2.26,从而具有约为95%概率的包含区间。
39. 用u
c和U表示测量结果的不确定度时分别有什么不同的物理概念?
用uc表示测量结果的不确定度时,是用合成不确定度形式表示测量结果的分散性大小。合成不确定度表示测量结果的分散性大小,便于测量结果间的比较。一般在以下情况报告测量结果时用合成不确定度:基础计量学研究;基本物理常量测量;复现国际单位制单位的国际比对。
用U表示测量结果的不确定度时,是用扩展不确定度形式表示测量结果的分散性大小。除了上述规定或有关各方约定采用合成不确定度外,通常测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示。尤其工业、商业及涉及健康和安全方面的测量时,都是报告扩展不确定度。因为扩展不确定度可以表明测量结果所在的一个区间,以及用概率表示在此区间内的可信程度,它比较符合人们的习惯用法。对于U要给出相应k值。
40. u
c,U和U
p几种表示形式分别表示什么?
uc表示合成标准不确定度;U表示扩展不确定度;Up表示明确规定包含概率为P时的扩展不确定度。